Провести обработку экспериментальных данных статистика

Контрольная работа по математической статистике "Обработка экспериментальных данных по заданной выборке"

Провести обработку экспериментальных данных:
1. Написать реализацию вариационного ряда для заданной выборки.
2. Построить гистограмму частот.
3. Построить график эмпирической функции распределения.
4. Вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию.
5. С доверительной вероятностью 0,99 найти доверительный интервал для математического ожидания (в предположении, что дисперсия известна).
6. Сформулировать гипотезу о характере распределения случайной величины.
7. С помощью критерия Пирсона с вероятностью ошибки первого рода 0,05 проверить гипотезу.

Выборка:

7,9
6,5
3
2,9
2,2
5,7
7,5
3,2
2,8
4,8
6,1
6,3
3,8
4,4
6,4
3,5
3,8
4,7
6,6
4,4
7,5
4
7,7
3,9
4,7
3,3
5,2
2,8

РЕШЕНИЕ:

1. Структурную группировку выборочных значений произведем, образовав 5 групп с равными интервалами. Выявим наибольшее Хmax и наименьшее Хmin значения объемов выполненных работ и определим ширину интервалов группирования по формуле:
Х = (Хmax -Хmin) / 5, где
N — общее число наблюдений, N= 28.

Х =(7,9 – 2,2)/5 = 1,14.

Определим интервалы групп (таблица 1).
Таблица 1
Интервалы групп
Группа Интервал
1 2,2–3,34
2 3,34–4,48
3 4,48–5,62
4 5,62–6,76
5 6,76–7,9

Построим ряд распределения (таблица 2), а также гистограмму (рис. 1).

Таблица 2
Ряд распределения
x Частота, f Накопленные частоты, S
2,2–3,34 7 7
3,34–4,48 7 14
4,48–5,62 4 18
5,62–6,76 6 24
6,76–7,9 4 28
Итого 28

2. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Площадь частичного i–ого прямоугольника равна h*(ni/h) - сумме частот вариант, попавших в i–й интервал. Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т. е. объему выборки n.

Рис. 1. Гистограмма ряда распределения

Как видно из рис. 1, наиболее многочисленными является интервал 2,2–4,48.

4. Рассчитаем средний размер кредиторской задолженности, а также показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Средний уровень рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной:

Для расчета показателя построим таблицу 3.
Таблица 3
Расчет среднего показателя
х Xi (середина интервала) f (частота) x f
2,2–3,34 2,77 7 19,39
3,34–4,48 3,91 7 27,37
4,48–5,62 5,05 4 20,2
5,62–6,76 6,19 6 37,14
6,76–7,9 7,33 4 29,32
Итого 28 133,42

= 133,42/28 = 4,76.

Итак, средняя равна 4,76.
Среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии - рассчитывается по формуле:

Для вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения построим таблицу 4.
Таблица 4
Расчет дисперсии
х Xi (середина интервала) f (частота) (xi - xср)2 fi
2,2–3,34 2,77 7 27,8602
3,34–4,48 3,91 7 5,11718
4,48–5,62 5,05 4 0,3249
5,62–6,76 6,19 6 12,1838
6,76–7,9 7,33 4 26,3169
Итого 28 71,8029

Таким образом, дисперсия ?2 = 71,8029/28 = 2,564.
Отсюда, среднее квадратическое отклонение ? = ?? = 1,60.
Вычисленный показатель свидетельствует о том, что в среднем уровень вариант колеблется от среднего значения на величину 1,6.
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, то есть оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении, относительно среднего уровня, что во многих случаях является более предпочтительным:

Определим значение этого показателя по нашим данным:

V = 1,6/4,76 х 100% = 33,61%.

Рассчитанная величина свидетельствует о значительном относительном уровне колеблемости вариант вокруг среднего значения. Так как V превышает 33%, совокупность по рассматриваемому признаку нельзя считать однородной.

3. Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X F*(x) = nx/n,
где nx – число вариант, меньших х; n - объем выборки.

Построим график эмпирической функции распределения, прежде запишем эмпирическую функцию:

0, при х?2,2
1/4, при 2,2<х?3,34
1/2, при 3,34<х?4,48
F*(х) = 9/14, при 4,48<х?5,62
6/7, при 5,62<х?6,76
1, при х>6,76

Рис. 3. График эмпирической функции распределения

5. Найдем доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0,99.
Если объем выборки достаточно большой (n>20–30), то распределение выборочной средней Хср, согласно центральной предельной теореме, независимо от генерального распределения приближается к нормальному распределению.
В нашем случае Хср = 4,76. В качестве известной дисперсии примем Dх = 2,56, среднеквадратическое отклонение ?=1,6.
Тогда Хср–t?/?n ? М(х) ? Хср+t?/?n
Ф(t) = ?/2 = 0,99/2 = 0,495. По таблице значений функции Лапласа находим значение t=2,57
4,76–2,57х1,6/?28? М(х) ?4,76+2,57х1,6/?28
3,983 ? М(х) ?5,537

6-7. Сформулируем гипотезу о характере распределения случайной величины.
Нулевую гипотезу сформулируем как утверждение, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами Хср и ?.
Расчеты представим в таблице 5.

Таблица 5
Расчетная таблица
Х m* z Ф (zi) Вероятности pi Теоретические частоты mi=pi n (m*-mi)2/mi
2,77 7 -1,247 0,1064 0,2429 6,8 0,006
3,91 7 -0,534 0,2967 0,2429 6,8 0,006
5,05 4 0,178 0,5706 0,1464 4,1 0,002
6,19 6 0,891 0,8132 0,2214 6,2 0,006
7,33 4 1,603 0,9454 0,1464 4,1 0,002
Итого 28 1 28 0,023

По данным выборки рассчитаем статистику Пирсона ?2 = 0,023.
По таблицам распределения ?2 при заданном уровне значимости ?=0,05 и числе степеней свободы ?=q-1-k (q – число интервалов: q=5, k – число параметров генерального распределения, оцененных по данным выборки: Хср и ?, k=2).
? = 5–1–2=2 находим ?2=5,99.
Так как ?2набл

ВВЕДЕНИЕ:

СПИСОК ЛИТЕРТУРЫ:

Цена: 1000.00руб.