Запишем расширенную матрицу системы, предварительно поменяв местами 1 и 2 строки математика

Контрольная работа №1
Задача 49.
Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение
Запишем расширенную матрицу системы, предварительно поменяв местами 1 и 2 строки. Произведем элементарные преобразования полученной матрицы.

Ранг основной матрицы равен 4 и равен рангу расширенной матрицы, следовательно, система согласно теореме Кронекера- Капелли совместна. Система неопределенна (имеет бесконечное множество решений), так как ранг меньше количества неизвестных.
– главные неизвестные, – свободная неизвестная. Выразим главные неизвестные через свободные.
Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .
.
Решение системы: .

Задача 119. Найти собственные векторы и собственное значении линейного оператора .
Решение
Составим характеристическое уравнение .
= = ;
Решим уравнение =0; , ,
, ,
, – собственные значение матрицы.
При система примет вид.
,
Собственный является любой вектор вида: , .
При система примет вид.
,
При матрица не имеет собственного вектора.

Контрольная работа №2
Задача 19. Зная значение функции в точках найти при помощи линейной интерполяции значение функции в точке х.

Решение.
При алгебраической интерполяции для представления информации о функции f(x) используется таблица значений этой функции:
x0 x1 x2 ..
f(x0) f(x1) f(x2) ..
Собственно, задачей вычислительной математики здесь является задача построения по таблице такой функции , которая бы не сильно отличалась от f и выработка ограничений, и разработка критериев, при которых задача имеет решение.
Простейшим способом интерполяции функции f по таблице является ступенчатая интерполяция. Один из ее вариантов формулируется так:

То есть за значение функции берется значение функции f(x) в точке, ближайшей к рассматриваемой.
Очевидно, что в качестве точки выбираем точку .
Тогда

Задача 49. Найти пределы.
Решение.
а) =( ) = = 113.
б) = = = = =
= .
в) = = =
=
г) = использовали второй замечательный предел.

Задача 69. .
Решение.
Найдем производные первого и второго порядка.
,

Найдем дифференциалы:
,
,
Найдем интервалы монотонности и локальные экстремуму из условия:
, , ,
Все эти точки разбивают область определения функции на промежутки. Исследуем знак производной на каждом из промежутков.
Составим таблицу.

–3
1

– 0 + 0 –

убывает -32 возрастает 0 убывает

Функция убывает на интервалах ; возрастает на интервале .
– точка минимума, – точка максимума.

Найдем интервалы выпуклости (вогнутости), точки перегиба из условия
. ,
Все эти точки разбивают область определения функции на промежутки. Исследуем знак второй производной на каждом из промежутков.

–1

+ 0 –

вогнута –16 выпукла

– точка перегиба.
Найдем наибольшее наименьшее значение функции на отрезке
Из условия имеем критические точки первого рода и .
Найдем значение функции в точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.
, , .
Среди полученных значений функции выберем наибольшее и наименьшее.
; .

Задача 79. , .
Решение.
Дифференциал первого порядка функции найдем по формуле

Дифференциал второго порядка функции найдем по формуле
.
Найдем частные производные первого порядка.
= ;
= .
Найдем частные производные второго порядка.
12; ;
.
в результате получим:

Производная функции в точке, по направлению вектора вычисляется по формуле:

где – угол, образованный вектором с положительным направлением оси .
Для вектора :
;
Следовательно,
,

Найдем приближенное значение функции в точке .
,
,
=

Найдем экстремумы функции:
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: .
Решим систему .
Получили стационарную точку .
Проверим достаточное условие экстремума.
Найдем частные производные второго порядка:
= 2; =10; =3.
= .
Так как и , то точка – точка минимума.
.
Построим область.

Найдем критическая точка принадлежит области.
Исследуем функцию на границе области.
а) при х = -1 имеем: . .
Исследуем данную функцию. . Критическая точка ,
На концах отрезка: , .
б) при х = 1 имеем: . .
Исследуем данную функцию . Критическая точка , . На концах отрезка: , .
в) при y = –1 имеем .
Исследуем данную функцию ; Критическая точка , . На концах отрезка: , .
г) при y =1 имеем .
Исследуем данную функцию ; Критическая точка , . На концах отрезка: , .
Выбираем из поученных значений наибольшее и наименьшее.
, .

Задача 89. Вычислить интегралы
Решение.
а) = = .
б) = = = = .
в) = = =

Задача 109. Решить дифференциальные уравнения
Решение.
а) .
Составим характеристическое уравнение.
, , , .
Общее решение уравнения умеет вид: .

б) .
Составим характеристическое уравнение.
, , .
Общее решение уравнения умеет вид: .

в) .
Составим характеристическое уравнение.
, , .
Общее решение уравнения умеет вид: .

г) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью. Решение ищем в виде:
Найдем решение соответствующего однородного уравнения
Составим характеристическое уравнение.
, .
Общее решение уравнения умеет вид: .
Найдем частное решение неоднородное дифференциальное уравнение.
, , .

, , , .

Общее решение имеет вид: