Записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах математика

Контрольная работа №5
Задание № 1
Записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах. .
Решение
Показательная форма имеет вид: .
Тогда радиус комплексного , аргумент
Тригонометрическая форма имеет вид: ,
Следовательно, – тригонометрическая форма данного комплексного числа.
= – алгебраическая форма комплексного числа.

– алгебраическая форма данного комплексного числа.
Задание № 2
Вычислите координаты точки М, расстояние которой от оси ординат и от точки А(4, 6) равно 5.
Решение.
Пусть тоска М имеет координаты .
Найдем ррастояние от точки М до точки А.
, и по условию имеем
Пусть точка О – точка на ооси оординат, до которой растоячние от томки М равно 5.
, и по условию имеем .
Откуда . Тогда , ,
, , , .
В результате иммем точки: и
Задание № 3
Дан треуголтник с вершинами А(–1, 8), В(7, –2) и С(–5, 4). Составить уравнениестороны АС и медианы ВD, этого треугольника. Сделайте чертеж.
Решение.
1. Найдем уравнение стороны .
Воспользуемся формулой: – прямой проходящей через две точки.
Подставим координаты точек А; С получим:
. , ,
– уравнение стороны .
2. Найдем уравнение высоты . Так как векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
.
Пусть точка имеет координаты . Тогда вектор имеет координаты . .
Из условия имеем:
, ,
– уравнение высоты .
Чертеж

Задание №4.
Найти вторую производную функции
и вычислить
Решение.
= = = =
= = = .
=
Ответ: –12.
Задание №5.
Число 50 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Решение.
Обозначим первое число , следовательно, второе число будет . Рассмотрим функцию и найдем максимальное значение функции на отрезке .
.
. Найдем критическую точку

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке.
, ,
Среди полученных значений выбираем максимальное .
Значит, число 50 = 25 + 25, при этом произведение чисел будет равно 25 и будет максимальным.

Задание №6.
Найти дифференциал функции
Решение.
Дифференциал функции вычисляем по формуле: .
Найдем производную степенно – показательной функции применяя логарифмическое дифференцирование.
, , .
, .
, .
Тогда дифференциал функции равен:

Контрольная работа №6
Задание № 1, №2
Найти интегралы
Решение.
А) = =
Б) = = = =
= = .
В) .
Вычислим интеграл методом поднесения под знак дифференциала.
= = =
= = =
= =

Задание № 3
Вычислить определенные интегралы.
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница
.
А) = =
Б) = =
= = = = =
= = .

Задание № 4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж. и осью Ох.
Решение.
Построим линию: .

Площадь фигуры вычислим по формуле
, где .
= = кв.ед.
Ответ: 4 кв. ед.

Задание № 5
Решить дифференциальное уравнение и найти частное решения (частные интегралы), удовлетворяющие начальным условиям.

Решение.
– дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, .
Проинтегрируем левую и правую часть равенства.
, .
,
,
,
– общее решение дифференциального уравнения.
Найдем частное решение.
, , ,
– частное решение.

Задание № 6
Имеется 100 деталей, из которых возможны 4% бракованных. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь бракованная.
Решение.
Найдем количество бракованных деталей: детали.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятая наудачу деталь бракованная.
Вероятность события А найдем используя классическое определение вероятности.
,
где – общее количество исходов;
– благоприятное количество исходов.
Определим общее количество исходов: = 100.
= 4 (количество счастливых номеров).
В результате получим:
.
Ответ: 0,004.