Вычислить производную функции одной переменной исходя из определения производной математика

Вариант 6
Контрольная работа №3
Задача 1. Вычислить производную функции одной переменной исходя из определения производной
.
Решение:
Зафиксируем произвольной из области определения функции. При дадим заданному допустимое приращение : .
Найдем соответствующее приращение функции:
= =
= .
Найдем предел:
= =
= =

Задача 2. Найти производные первого порядка функции
Решение:
Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:
а) .
= = = = =
=

б)
= = =
= .

в) .
= = = =

г)
Функция задана параметрически
Производная такой функции находится по формуле: .
.
.

Задача 3. Составить уравнение касательной и нормали к графику кривой , в точке если эта касательная проходит через начало координат. Сделать рисунок.
Решение.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид: .
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид: .
Найдем производную функции: .
,
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
, .
Тогда уравнение нормали:

Задача 4. Найти предел с помощью правила Лопиталя.
Решение.
= = = =
= = = = .