Вариант 28 Задание 1. Вычислить и математика

Вариант 28
Задание 1. Вычислить и

Решение.
= =

Найдем произведение:
= =
Ответ: , .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы А и матрицу .

Решение.
Вычислим определитель: .
Найдем матрицу по формуле
= , где = 12, – алгебраическое дополнение к элементу.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = .

Задание 3. Найти множество решений системы уравнений.

Решение.
Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
.
Очевидно, и меньше количества неизвестных, следовательно, система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.
Решим системе методом Гаусса.
.
решение системы.

Задание 4. Установить, при каких значениях параметра а квадратичная форма является положительно определенной, отрицательно определенной или знаконеопределенной.

Решение.
Приведем данную квадратичную форму к каноническому виду.
Воспользуемся методом Якоби.
Найдем главные миноры матричной записи квадратичной формы:

,
Канонический вид:

.
При решая систему неравенств получим:
Имеем отрицательно определенную квадратичную форму.
При решая систему неравенств получим:
Имеем положительно определенную квадратичную форму.
При решая систему неравенств не имеет решений.
При решая систему неравенств получим:
Имеем знаконеопределенную квадратичную форму.