Вариант 21 1.Найти неопределенный интеграл математика

Вариант 21
1.Найти неопределенный интеграл:
а)

б).

Интегрируем по частях:

Интегрируем второй интеграл по частях:

2. Вычислить определенный интеграл:

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница ординат параболы и прямой, а основание dx.

Найдем точки пересечения параболы и прямой

4. Вычислить несобственный интеграл:

5. Исследовать сходимость несобственного интеграла:

Так как функция
является бесконечно малой порядка по сравнению с при , то по частному признаку сравнения интеграл сходится.

6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.

Разделяем переменные

7. Решить линейное дифференциальное уравнение.

Характеристическое уравнение однородного уравнения:

Имеет корни , , поэтому общее решение однородного уравнения:
Так как 0 не корень характеристического уравнения будем искать частное решение в виде его правой части
Права часть уравнения имеет вид

Подставив найденные выражение в уравнение, получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части тождества, получим

Таким образом общее решение данного неоднородного уравнения

8. Исследовать сходимость ряда

По признаку Даламбера:

Значит данный ряд сходящийся.

9. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

Применим признак Даламбера

Таким образом интервал сходимости ряда

Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд
Первое условие признака Лейбница выполняется

С другой стороны , второе условие признака Лейбница выполняеся, значить знакопеременный ряд сходится и так как ряд составленный из абсолютный величин гармонический .то ряд сходится условно
При , имеем ряд , который тоже сходится условно. (Случай как и при ).
Таким образом интервал сходимости ряда