Вариант 18 1.Найти неопределенный интеграл математика

Вариант 18
1.Найти неопределенный интеграл:
а)

б).
Выделим с подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:

Разложим подынтегральную рациональную дробь, на сумму элементарных дробей

Избавимся от знаменателей, умножая левую и правую части равенства на

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, в левой и правой части тождества получим систему уравнений

Подставляя в схему разложения, получим:

Таким образом

2. Вычислить определенный интеграл:

Интегрируем по частях:

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница абсцисы кривой и оси ординат, а основание dy.

4. Вычислить несобственный интеграл:

5. Исследовать сходимость несобственного интеграла:

Так как функция
является бесконечно малой порядка по сравнению с при , то по частному признаку сравнения интеграл сходится.

6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.

Сделаем замену

Подставляя v во второе уравнение получим:

Значит, искомый интеграл уравнения

7. Решить линейное дифференциальное уравнение.

Характеристическое уравнение однородного уравнения:

Имеет корни , , поэтому общее решение однородного уравнения:
Правая часть уравнения имеет вид и так как корни характеристического уравнения кратности 1, то частное решение будем искать в виде

Подставив найденные выражение в уравнение, получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых членах в левой и правой части тождества, получим

Таким образом общее решение данного неоднородного уравнения

8. Исследовать сходимость ряда

Так как все значения принадлежат интервалу , то

исследуем по интегральному признаку
.
Несобственный интеграл сходится, значит сходится и ряд.
Так как ряд сходящийся, значит по признаку сравнения рядов сходится и данный ряд
9. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

Применим признак Даламбера

Таким образом интервал сходимости ряда

Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд
Первое условие признака Лейбница не выполняется
Значит ряд расходится.
При , имеем ряд расходящийся ряд
Таким образом интервал сходимости ряда