Вариант 13 Задание 1. Вычислить и математика

Вариант 13
Задание 1. Вычислить и

Решение.
Произведение не определено, так как количество столбцов матрицы равно 2, не совпадает с количеством строк матрицы равным 3.
Найдем произведение:
=
Ответ: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы А и матрицу .

Решение.
Вычислим определитель: .
Найдем матрицу по формуле
= , где = 5, – алгебраическое дополнение к элементу.
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = . Проверим правильность нахождения обратной матрицы:
= = = = .

Задание 3. Найти множество решений системы уравнений.

Решение.
Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Первую и вторую строки поменяем местами.
Первую строку матрицы умножим на (-1) и прибавим к третьей. Далее вторую строку матрицы прибавим к третьей, умноженной на 2.
.
Получили ступенчатую матрицу. и равен количеству неизвестных, следовательно, система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.
Решим системе методом Гаусса.
Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .
.
решение системы.

Задание 4. Установить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенно или знаконеопределенной.

Решение.
Приведем данную квадратичную форму к каноническому виду.
Воспользуемся методом Якоби.
Найдем главные миноры матричной записи квадратичной формы:

, ,
Канонический вид:

Имеем знаконеопределенную квадратичную форму