Теория вероятности. Вар. 14 математика

Задача 1.
Электрическая цепь состоит из сопротивлений Ri (i = 1, 2, 3, ... ) (рис. 1). Обрывы сопротивлений представляют собой независимые события Аi (i = 1, 2, 3, ... ), вероятности которых равны соответственно рi (i = 1, 2, 3, ... ).
Значения вероятностей р1, р4, р5, р10 приведены в табл. 1.1. Значения остальных вероятностей одинаковы и равны 0,1.
Требуется:
1) записать выражение для событий А и , если событие А означает разрыв цепи в целом (полное нарушение гальванической связи между полюсами В и С);
2) используя вероятности рi (i = 1, 2, 3, ... ), записать формулу для вероятности обрыва цепи в целом Р(А) и определить ее значение.
Указания: учитывая то обстоятельство, что элементарные события Аi (i = 1, 2, 3, ... ) по своей физической сути являются совместными и, следовательно, применение формул, вытекающих из теоремы сложения вероятностей, затруднительно, целесообразно при составлении выражения для вероятности Р(А) использовать непосредственно вероятности элементарных событий рi и qi = 1 - рi, (i = 1, 2, 3, ... ), сочетая при этом применение теорем сложения и умножения вероятностей. Преобразования будут наиболее лаконичны, если в начале составить выражение для надежности Р( ), а затем по формуле Р(А) = 1 - Р( ) найти вероятность прямого события.
Задача 2.
Для защиты электрической сети (рис. 2) установлен автоматический выключатель В, который отключает сеть при возникновении короткого замыкания в каком-либо из трех трансформаторов Т1, Т2 и ТЗ, либо при совместном коротком замыкании в каких-либо двух трансформаторах или во всех трех трансформаторах.
Вероятности возникновения коротких замыканий в трансформаторах Т1, Т2 и ТЗ равны соответственно р1, р2 и р3, значения которых приведены в табл. 2.1
Вероятность того, что произойдет ложное срабатывание автоматического выключателя В и отключение электрический сети при отсутствии в ней каких-либо коротких замыканий равна 0,12.
Вероятность отказа автоматического выключателя B в срабатывании и отключении электрической сети при возникновении в ней тех или иных коротких замыканий равна 0,18.
Требуется:
1) определить вероятность срабатывания автоматического выключателя В и отключения электрической сети при возникновении в ней тех или иных коротких замыканий;
2) определить вероятность того, что произошло только короткое замыкание в трансформаторе Т2, а не в трансформаторах Т1 и ТЗ и не совместное короткое замыкание в тех или иных трансформаторах, а также не ложное срабатывание автоматического выключателя В, если стало известно, что он сработал и отключил электрическую сеть.
Задача 3.
Вентильный преобразователь ВП состоит из двух тиристорных блоков 1 и 2 (рис. 3) и выходит из строя, если откажут три тиристора в первом блоке, или не менее двух тиристоров во втором блоке.
Определить вероятность выхода из строя вентильного преобразователя, если известно, что в нем отказало всего 3 тиристора, а отказы тиристоров - события независимые и происходят: в блоке 1 - с вероятностью р1 = 0,4 ; в блоке 2 - с вероятностью р2 = 0,2.
Задача 4.
В схеме электроснабжения (рис. 4) качество напряжения на клеммах электроприемника (ЭП) контролируется тремя регуляторами: автоматическим регулятором возбуждения генератора (АРВ) на электростанции; автоматическим регулятором напряжения под нагрузкой (РПН) трансформатора на подстанции предприятия и автоматическим регулятором конденсаторной батареи (АРКОН) непосредственно на клеммах ЭП.
Отказы регуляторов события независимые и происходят с вероятностями : р1 - для АРВ; р2 - для РПН и р3 - для АРКОН. При работе всех трех регуляторов качество напряжения на клеммах ЭП удовлетворяет стандарту с вероятностью р4, при работе двух регуляторов - с вероятностью р5, при работе одного регулятора - с вероятностью р6 и при отказе всех трех регуляторов - с вероятностью р7.
Значения вероятностей р1 ... р7 приведены в табл. 4.1
Определить вероятность того, что качество напряжения на клеммах ЭП будет удовлетворять требованиям стандарта.
Задача 5.
Электроснабжение электроприемников ЭП завода осуществляется по схеме рис. 5.
Электроприемники завода получают бесперебойное питание в том случае, когда одновременно работает: не менее двух генераторов Г1, Г2 и ГЗ; хотя бы одна из линий Л1 и Л2; хотя бы один из трансформаторов Т1 и Т2.
Отказы всех элементов схемы - события независимые и представляют собой стационарные пуассоновские потоки с плотностями: ?Г1 = 0,08; ?Г2 = 0,1; ?Г3 = 0,12; ?Л1 = 0,2; ?Л2 = 0,3; ?Т1 = 0,02; ?Т2 = 0,04, измеряемых в единицах 1/год.
Определить вероятность бесперебойного питания электроприемников завода в течение времени ? = 7.
Задача 6.
После изготовления универсальный прибор типа "ампервольтметр" подвергается проверке на точность измерения тока и напряжения. Прибор считается годным, если ошибка измерения тока не выходит за пределы ± 3 А, а ошибка измерения напряжения - за пределы ± 2 В. Приборы, не удовлетворяющие этим требованиям, возвращаются на доработку. Ошибка измерения тока подчиняется нормальному закону с параметрами mI и ?I, а ошибка измерения напряжения - закону равномерной плотности с параметрами mU и ?U. Ошибки измерения по току и напряжению - величины независимые.
Значения параметров mI и ?I, mU и ?U приведены в табл. 6.1.
Требуется определить, сколько нужно проверить приборов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 среди них был хотя бы один годный.
Задача 7.
Суммарный ток электрической цепи является линейной функцией четырех случайных аргументов I = I1 + I2 + I3 + I4 . Все четыре тока - непрерывные случайные величины, распределенные по нормальному закону, с параметрами m1 , ?1 ; m2 , ?2; m3 , ?3; m4 , ?4 , значения которых приведены в табл. 7.1.
Задача 8.
Тепловая мощность, выделяемая в электрической цепи определяется выражением Р = I2R, где ток I и сопротивление R цепи являются независимыми непрерывными случайными величинами. Ток I подчиняется закону равномерной плотности в диапазоне (I1 , I2), а сопротивление R - нормальному закону с параметрами mR и ?R.
Определить математическое ожидание mР, дисперсию DР и среднее квадратическое отклонение ?Р функции двух случайных аргументов Р = Р(I, R). Задачу решить двумя методами:
1) точным;
2) приближенным - методом линеаризации функций случайных аргументов.