Проверка гипотез о законе распределения (критерии Пирсона) математика

Проверка гипотез о законе распределения (критерии Пирсона)

Существует несколько критериев согласия для проверки законов распределения случайной величины. Это критерии Колмогорова, Смирнова, Пирсона и др. Мы остановимся лишь на критерии Пирсона – это наиболее часто употребляемый критерий для проверки закона распределения случайной величины.
Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения.
Проверка гипотезы о нормальном распределении.
Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различных значений вариант. Доя удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку:
варианты………..х1 х2 … хs
частоты………….п1 п2 … пs ,
где хi – значения середин интервалов, а пi – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты).
По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение ?В. Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M(X) = , D(X) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i-й интервал:
,
где аi и bi- границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: пi =n?pi. Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины
. (1)
Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной величины (1) при стремится к закону распределения с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где r– число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием
(2)
где ? – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством а область принятия гипотезы - .
Итак, для проверк