Привести уравнение кривой второго к каноническому виду и найти точки пересечения с прямой. Построить графики кривой и прямой математика

Вариант 6
Контрольная работа №2
Задача 1. Привести уравнение кривой второго к каноническому виду и найти точки пересечения с прямой. Построить графики кривой и прямой
.
Решение:
Выделим полный квадрат: , ,
– парабола в вершиной в точке (–2, 1).
Найдем точки пересечения кривой и прямой
,
,
,
,
,

Точки пересечения кривых

Задача 2. Требуется:
1) построить по точкам график функции в полярной системе координат. Значения вычислять в точках ;
2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох с полярной осью.
3) Определить вид кривой.

Решение.
Построим кривую . Сведем данные в таблицу:

0

-2 -1,85 -1,41 -0,77 0,00 0,77 1,41 1,85 2 1,85 1,41

0,77 0,00 -0,77 -1,41 -1,85 -2 - -
Построим график функции по данным таблицы.

Найдем уравнение кривой в прямоугольных координатах.
; ; .
; ; ;
– уравнение кривой в прямоугольных координатах (окружность с центром в точке (–1,0) и радиусом 1).

Задача 3 Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение.
а) = = = =
= =
б) = = .

в) = = = =
= = .
г) = = = .

Задание 4. Функция представляет собой сумму трех одночленов. Указать среди них одночлен, эквивалентный всей сумме

Решение.
Вычислим предел при .

Эквивалентен всей сумме многочлен:
Вычислим предел при .

Эквивалентен всей сумме многочлен:

Задание 5. Исследовать функцию на непрерывность

Решение.
Функция неопределенна в точке и . Следовательно, , – точки разрыва.
Рассмотрим .
,
Так как , то точка – точка с конечным скачком.
Рассмотрим .
,
Точка – точка разрыва второго рода.
Построим график функции.

Задача 6
Решение

Итак, - алгебраическая форма комплексного числа.
Итак, - алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма имеет вид: ,
где , угол определяют из системы
Тогда = , = ,
Значит, . Итак, - тригонометрическая форма комплексного числа.
Показательная форма имеет вид: .
Тогда - показательная форма комплексного числа.
Изобразим число на комплексной плоскости (рис 1).
2) Вычислим ;
=

Рис 1.