Построить графики функций математика

1. Построить графики функций
1)
строим график функции
Часть графика, которая лежит ниже оси Ох, симметрически отображаем в верхнюю полуплоскость.

2)
1. Область определения данной функции есть вся числовая ось, кроме точек х1=0 и х2=-1.
2. Функция при х1=0 и х2=-1 имеет бесконечный разрыв.
3. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
4. а) Вертикальные асимптоты х=0 и х=-1
б)

Не вертикальная асимптота у=0
5.
в точке , которая есть критической и не существует при х=0 и х=-1 (эти точки не могут быть критическими, так как это точки разрыва).
Исследуем полученные точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-1) -1 (-1, )

( , 0)
0 (0, ?)
y

mах

+ + - -
6. Найдем

?0 при любом х и не существует при х=0 и х=-1 (эти точки не могут быть точками перегиба, так как это точки разрыва)
Исследуем эти точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-1) -1 (-1, 0) 0 (0, +?)
y

+ - +
7. Используя полученные результаты, строим график функции.

Найдем односторонние границы функции в точках разрыва

Значит, имеем точку разрыва второго рода

Значит, имеем точку разрыва второго рода
3)
1. Область определения данной функции вся числовая ось
2. Функция не имеет точек разрыва.
3. Функция четная и периодическая, период функции .
4. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как она всюду непрерывна
б)
предел не существует
Не вертикальных асимптот график функции не имеет
5.
в точке , которые есть критическими
При - максимум
При - минимум
6. Найдем

=0 при
7. Используя полученные результаты, строим график функции.

4)
1.
Функция определена на интервале
1. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
2. а) вертикальных асимптот функция не имеет, так как она всюду непрерывна в области определения.
б)

не вертикальных асимптот график функции не имеет.
3.
не существует в точке , но она не принадлежит области определения
x 0 (0,?)
y

-

4. Найдем

нигде не превращается в нуль в области определения. Значит, график функции не имеет точек перегиба.
5. Используя полученные результаты, строим график функции

5)
строим график функции
Часть графика, которая лежит ниже оси Ох, симметрически отображаем в верхнюю полуплоскость.

6.

Найдем односторонние пределы в точке разрыва

Скачок функции в точке разрыва

2. Найти пределы функций.
1)
2)
3).
4)
5).
6)

3. Вычислить производные функций:
1).

2).

3).

4).

5).

6).

4. Найти экстремальное значение функции:
Найдем производную и приравняем ее к нулю:

в точках , которые есть критическими
Исследуем полученные точки по знаку слева и справа от них
x (-?,- )
-
(- , )

( , ?)
y
max
min

+ - +

- точка максимума
- точка минимума

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми и кривыми линиями.
1.

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница ординат параболы и прямой, а основание dx.

Найдем точки пересечения параболы и прямой

2.

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница кривой и прямой, а основание dx.

Найдем точки пересечения кривой и прямой

3.

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница ординат кривой и оси Ох, а основание dx.

6. Исследовать сходимость числовых рядов и определить область сходимости степенных рядов:
1).

Необходимый признак сходимости ряда не выполняется
значит, ряд расходится
2)

Сравним данный ряд с гармоническим рядом
По признаку сравнения рядов:

Значит, поскольку гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

3)

По признаку Даламбера:

Значит данный ряд сходящийся.

4)
Применим признак Коши

Значит данный ряд сходящийся.

5) Найти промежуток сходимости степенного ряда:

Применим признак Даламбера

Таким образом, интервал сходимости ряда

Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд

Первое условие признака Лейбница не выполняется
Значит, ряд расходится.
При , имеем ряд расходящийся ряд
Таким образом, интервал сходимости ряда

6). Найти промежуток сходимости степенного ряда:

Применим признак Коши

Таким образом, интервал сходимости ряда

Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд

Первое условие признака Лейбница не выполняется
Значит, ряд расходится.
При , имеем ряд расходящийся ряд
Необходимый признак сходимости ряда не выполняется

Таким образом, интервал сходимости ряда