По координатам вершин пирамиды . Найти математика

Вариант 6
Контрольная работа №1
Задача 1. По координатам вершин пирамиды . Найти:
1) длину ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ;
4) объем пирамиды ; 5) уравнения прямой и ; 6) уравнение плоскостей и ; 7) угол между плоскостями и ;
.
Решение:
1) Длина отрезка, проходящего через точки с координатами , вычисляется по формуле:
Поставим в формулу координаты точек и .
Получим .
Поставим в формулу координаты точек и .
Получим .
2) Угол ? между векторами находится по формуле:
=
Найдем координаты векторов и .
= ; = .
Тогда = . .
3) Найдем площадь грани по формуле – векторное произведение соответствующих векторов.
= = .
Тогда = = = 9. = = 4,5.
4) Объем пирамиды вычислим по формуле = , где – смешанное произведение векторов , , .
Вычислим . = = –18.
Значит, = =3.
5) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид: Уравнения прямой . Подставим координаты точки и вектора , получим:
= = – канонические уравнения прямой .
Уравнения прямой . Подставим координаты точки и вектора , получим:
= = – канонические уравнения прямой .
6) Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору имеет вид: . Нормальный вектор плоскости имеет координаты (–4, –8, –1) (это вектор ).
, откуда – уравнение плоскости .
Найдем уравнение плоскости . Воспользуемся формулой:

Тогда ;
– уравнение плоскости
7) Угол между плоскостями и , находим как угол между их нормальными векторами. = = = = .

Задача 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера 2) средствами матричного исчисления.

Решение
3. Найдем решение системы с помощью формул Крамера. Воспользуемся формулами:
, ,
где – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.
= = –3; = 3;
= –3; = –6.
Найдем , , .
2. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме ,
где , , .
Решение системы в матричной форме имеет вид , где – матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
= , где = –3– главный определитель матрицы, – алгебраическое дополнение к элементу. , – минор.
Найдем алгебраические дополнения.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид:
= .
Проверим правильность нахождения обратной матрицы:
= = =
= = = . Найдем решение системы.
= = = = .
(–1, 1, 2) – решение системы.

Задание 3. Решить систему уравнений

Решение
Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
.
Получили ступенчатую матрицу. . Следовательно, система совместна, и имеет бесконечное множество решений.
– главные неизвестные, – свободные неизвестные

Ответ:
Задание 4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

Решение.
Составим характеристическое уравнение .
= = ;
Решим уравнение =0; ,
Откуда получим: , , .
, , – собственные значение матрицы.
При система примет вид.
,

Собственный является любой вектор вида: , .
При система примет вид.

При система примет вид.