Парная линейная регрессия математика

Контрольная работа №1
по теме «Парная линейная регрессия»

Вариант № 1

Данные, характеризующие прибыль торговой компании «Все для себя» за первые 10 месяцев 2004 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:

январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь
382+N 402+N 432+N 396+N 454+N 419+N 460+N 447+N 464+N 498+N

N=9 -последняя цифра номера зачетной книжки.

В контрольной работе с использованием табличного процессора Ехсеl необходимо выполнить следующие вычисления и построения:

1. Построить диаграмму рассеяния.
2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.
3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов b0, b1 выполнить методом наименьших квадратов.
4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.
5. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R2. Проверить гипотезу о значимости построенного уравнения регрессии.
6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.
7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.
8. Проверить гипотезы о значимости вычисленных коэффициентов b0, b1 .
9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b0, b1.
10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.
11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М( )( по оси Х откладывать месяцы январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.
12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М( ) и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Решение.

1. При N=9 данные, характеризующие прибыль торговой компании «Все для себя» за первые 10 месяцев, задаются следующей таблицей:

№ месяца Месяц ( x) Прибыль (y)
1 январь 391
2 февраль 411
3 март 441
4 апрель 405
5 май 463
6 июнь 428
7 июль 469
8 август 456
9 сентябрь 473
10 октябрь 507

Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния:

2. На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде.

3. Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией . Решение задачи нахождения коэффициентов b0, b1 Основывается на применении метода наименьших квадратов и сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными b0, b1 :
b0 n + b1 ?xi = ?yi,
b0 ?xi + b1 ?xi2 = ?xiyi.
Составляем вспомогательную таблицу:
№ х y x2 ху y2
1 1 391 1 391 152881
2 2 411 4 822 168921
3 3 441 9 1323 194481
4 4 405 16 1620 164025
5 5 463 25 2315 214369
6 6 428 36 2568 183184
7 7 469 49 3283 219961
8 8 456 64 3648 207936
9 9 473 81 4257 223729
10 10 507 100 5070 257049
сумма 55 4444 385 25297 1986536
Для нашей задачи система имеет вид:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:
?yi??xi2 – ?xiyi??xi n?xiyi – ?xi?yi
b0 = —————————, b1 = ——————— .
n?xi2 – (?xi)2 n?xi2 – (?xi)2
Получаем: , .
Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид: y =387,4 + 10,364x.

4. Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислим значения статистики F и коэффициента детерминации R2. Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле R2 = rxy2 = 0,8732 = 0,762. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R2 по формуле:

Получаем: . Зададим уровень значимости ? =0,05, по таблице находим квантиль распределения Фишера F0,01;1;8 = 5,32, где 1 – число степеней свободы.
Fфакт. > F0,01;1;8, т.к. 25,67 > 5,32.
Следовательно, делаем вывод о значимости уравнения регрессии при 95% - м уровне значимости.

6. Вычислим выборочный коэффициент корреляции и проверим гипотезу о ненулевом его значении.
Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле:
n?xiyi – ?xi?yi
rxy =—————?¬ ??——?— ,
vn?xi2 – (?xi)2 vn?уi2 – (?уi)2
Получаем:
Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.
Здесь t1-?/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, ? - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение ? задается. Примем ? = 0,05, тогда t1-?/2,n-2 = t0,975,8 = 2,37. Получаем:
.
Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у.
С использованием табличного процессора Ехсеl проведем регрессионную статистику:
ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R 0,873
R-квадрат 0,762
Нормированный R-квадрат 0,733
Стандартная ошибка 18,579
Наблюдения 10

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 8860,909 8860,909 25,670 0,001
Остаток 8 2761,491 345,186
Итого 9 11622,400

Коэффициенты Стандартная
ошибка t-стати-
стика P-Значение Нижние95% Верхние 95%
Y-пересечение 387,400 12,692 30,523 0,000 358,132 416,668
Переменная X 1 10,364 2,046 5,067 0,001 5,647 15,081

Вычисленные значения коэффициентов b0, b1, значения статистики F, коэффициента детерминации R2 выборочного коэффициента корреляции rxy совпадают с выделенными в таблице.

7. Оценка дисперсии случайной составляющей эконометрической модели вычисляется по формуле .
Используя результаты регрессионной статистики, получаем:
.
8. Проверим значимость вычисленных коэффициентов b0, b1 по t-критерию Стьюдента. Для этого проверяем выполнение неравенств: и , где , , , .
Используем результаты регрессионной статистики:
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 387,400 12,692 30,523 0,000 358,132 416,668
Переменная X 1 10,364 2,046 5,067 0,001 5,647 15,081

Получаем: ; Примем ? = 0,05, тогда t1-?/2,n-2 = t0,975,8 = 2,37.
Так как и , делаем вывод о значимости коэффициентов линейного уравнения регрессии.
9. Доверительные интервалы для коэффициентов b0, b1 получаем с помощью результатов регрессионной статистики.
Доверительный интервал для коэффициента b0 уравнения регрессии:

Доверительный интервал для коэффициента b1 уравнения регрессии:

10. Построим доверительный интервал для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели по формуле:
.
Примем ? = 0,05, тогда по таблице для 10-элементной выборки q = 0,65. Получаем:
,
.

11. Построим доверительную область для условного математического ожидания М( ).
Доверительные интервалы для уравнения линейной регрессии : находятся по формуле:

где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы;

Рассмотрим уравнение: y =387,4 + 10,364x. Пусть тогда . Зная и , заполним таблицу:

1 397,7636 20,25 3,961 390,396 405,131
2 408,1273 12,25 4,458 399,835 416,419
3 418,4909 6,25 4,905 409,368 427,614
4 428,8545 2,25 5,314 418,970 438,739
5 439,2182 0,25 5,694 428,627 449,810
6 449,5818 0,25 6,051 438,328 460,836
7 459,9455 2,25 6,387 448,065 471,825
8 470,3091 6,25 6,707 457,835 482,783
9 480,6727 12,25 7,012 467,631 493,714
10 491,0364 20,25 7,304 477,451 504,622
сумма 82,5
11 501,4 30,25 7,585 487,292 515,508
12 511,7636 42,25 7,856 497,152 526,376

График уравнения регрессии, доверительная полоса, диаграмма рассеяния:

12. С помощью линейной парной регрессии сделаем прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц:
501,4, 511,764.
Нанесем эти значения на диаграмму рассеяния.

Эти значения сопоставимы с границами доверительной области для условного математического ожидания М( ).
Точность прогнозирования: с вероятностью 0,95 прибыль в ноябре находится в интервале (487,292; 515,508); прибыль в декабре находится в интервале (497,152; 526,376).