Отрезок ОМ, где точка М(х;у), повернут на угол 120 против хода часовой стрелки. Каковы будут координаты и нового положения точки М? математика

Контрольная работа по предмету «Математические методы в экономике»

Вопрос 1. Отрезок ОМ, где точка М(х;у), повернут на угол 120 против хода часовой стрелки. Каковы будут координаты и нового положения точки М?
Решение:
Предполагая, что с точкой М связана подвижная система координат , на основании формул будем иметь

Ответ: ; )

Вопрос 2. Найти линию, расстояние точек которой от точки В(12;16) в два раза больше, чем от точки А(3;4).
Решение:
Если М -произвольная точка искомой линии, то согласно условию задачи имеем
2АМ=ВМ. (1)
Чтобы составить уравнение этой линии, надо выразить АМ и ВМ через координаты х и у точки М. На основании формулы расстояния между двумя точками , имеем

Откуда согласно соотношению (1)

Это и есть уравнение искомой линии. Упростим его, возведя обе части в квадрат.

Искомая линия является окружностью радиуса 10 с центром в начале координат.
Ответ:

Вопрос 3. Найти
Решение: 1.

Ответ: =0

Вопрос 4. Вычислить
Решение:

Ответ:

Вопрос 5. Функцию разложить по степеням разности х-1
Решение:
Имеем

Отсюда

Следовательно,

Это разложение справедливо, если .
Ответ:

Вопрос 6. Решить уравнение при начальных условиях: у=0, х=-1.
Решение: По виду уравнение не является линейным. однако если рассматривать х как функцию от у, то, учитывая. что , получим линейное уравнение
Как обычно, положим
Подставляя эти выражения в уравнение, будем иметь

Отсюда, учитывая, что согласно выбору u получаем
Находим частное решение
Поэтому получаем , и, значит,

Находим общее решение
Полагая здесь у=0 при х=-1, получим -1=-1+С, то есть С=0.
Таким образом, х=-у-1, т.е. у=-(х+1) есть искомое частное решение
Ответ: у=-(х+1)

Вопрос 7. Решить уравнение
Решение:
Полагаем здесь
отсюда
Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь
и
Отсюда
Это уравнение первого порядка. Разделяя переменные, имеем

Умножая обе части на , получим

Вычислим интеграл, стоящий в левой части уравнения. Замечая, что будем последовательно иметь

Таким образом, находим
или окончательно .
Ответ:

Вопрос 8. Вычислить вдоль прямой ОА О(0;0), А(1;2); парабола, проходящая через точку А с вершиной в точке О и осью Оу; ОВА ломанная линия В(1;0); ОСА ломанная линия С(0;2).
Решение: Воспользовавшись приведенными выше уравнениями линии К, последовательно имеем

Таким образом, здесь интеграл I имеет одно и то же значение для различных путей, соединяющих точки О и А.

Вопрос 9. Из колоды 52 карты выбирается наугад одна карта. Какова вероятность, что она будет червонной масти или король треф?
Решение: Число карт червонной масти в колоде из 52 карт – 13. Наступление события – выпадение червонной карты или короля треф. То есть количество карт, способствующих свершению данного события = 13+1=14. Вероятность того, что при случайном выборе выберут червонную или короля треф -
Ответ:

Вопрос 10. Все значения случайной величины Х принадлежат интервалу (0;2), причем плотность вероятности при и при . Найти функция распределения Ф(х), математическое ожидание М(х) и дисперсию .
Решение: Так как

То есть математическое ожидание М(х) =5/4
То есть дисперсия

Сборник практических заданий по предмету «Математика в экономике»

Задание 1. Танк на местности переместился из точки А(-30; 80) в точку В(50; 20) (относительно некоторой системы координат Оху), причем координаты точек даны в километрах. Найти путь , пройденный танком, если он двигался не меняя направления.
Решение:
Применяя формулу , имеем
км.
Ответ: 100км

Задание 2. Составить уравнение прямой параллельной оси ординат.
Решение: Пусть прямая , и пусть отрезок ОА=а. Тогда для любой точки М(х;у) прямой АВ ее абсцисса х равна а:
х=а
Обратно, если абсцисса некоторой точки М(х;у) равна а, то эта точка лежит на прямой АВ.
Таким образом, х=а представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от нее на расстоянии, равном численному значению а; при этом если прямая расположена справа от оси Оу, то а положительно; если же прямая расположена слева от оси ОУ, то а отрицательно.
Ответ: х=а

Задание 3. Найти
Решение:
Ответ: =1

Задание 4. Вычислить
Решение:

Задание 5. Сходится ли ряд
Решение: Имеем
Отсюда
и, следовательно, . Так как , то согласно признаку Даламбера, ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.

Задание 6. Сила тока i в электрической цепи с омическим сопротивление R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению
, где Е – электродвижущая сила. Найти силу тока i через t с после момента включения, если Е меняется по синусоидальному закону и i=0 при t=0.
Решение: Разделим обе части дифференциального уравнения на L.
. Для кратности примем , а , обычным приемом получим

Отсюда и

Применяя двукратное интегрирование по частям, находим

Отсюда получаем

Подставляя это выражение в формулу , находим
, где С – произвольная постоянная.
Перемножая функции u и v , получим закон изменения силы тока

При t=0 из начального условия находим
, т.е.
.
Следовательно, .
Если t – достаточно велико, то - малая величина и ею в формуле можно принебречь. В таком случае будем иметь
.
Ответ:

Задание 7. Решить уравнение , удовлетворяющее условиям: у=0, при x=1
Решение: Полагая и , имеем

Разделяя здесь переменные, получим
или после интегрирования
.
Для определения постоянной используем начальное условие при х=1. Имеем
; отсюда =0 и, следовательно, .
Извлекая корень, получим

Причем перед корнем взят знак плюс, так как при х=1 мы должны иметь р=1.
Разделяя переменные и интегрируя, находим
.
Для определения полагаем х=1 и у=0; тогда
, т.е. = .
Таким образом, искомое решение есть
.
Ответ:

Задание 8. В интеграле перейти к полярным координатам.
Решение: Область интегрирования здесь есть треугольник, ограниченный прямыми у=0, у=х, х=1.
В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: и, следовательно, область треугольника определяется неравенствами

На основании формул,

учитывая, что , имеем

Задание 9. Из колоды 52 карты выбирается наугад одна карта. Какова вероятность, что она будет червонной масти или один из королей?
Решение: Число карт червонной масти в колоде из 52 карт – 13. Наступление события – выпадение червонной карты или одного из королей. То есть количество карт, способствующих свершению данного события = 13+4=17. Вероятность того, что при случайном выборе выберут червонную или короля треф -
Ответ:

Задание 10. Случайная величина Х равномерно распределена на центрированном отрезке . плотность вероятности при и при . Найти плотность вероятности , математическое ожидание М(х), дисперсию и стандарт .
Решение: Для равномерно распределенной случайной величины все ее возможные значения являются равновозможными, так как , то и при , (где - плотность вероятности) то

М(х) – математическое ожидание

- дисперсия

Стандарт
Ответ:

№ Задания № Вопроса Вариант ответа
Задание 1 1 3
2 2
3 1
4 3
5 2
Задание 2 1 4
2 2
3 1
4 5
5 3
Задание 3 1 2
2 5
3 1
4 3
5 2
Задание 4 1 1
2 4
3 2
4 5
5 2
Задание 5 1 1
2 3
3 5
4 1
5 3
Задание 6 1 5
2 4
3 1
4 4
5 4
Задание 7 1 1
2 1
3 2
4 5
5 4
Задание 8 1 2
2 5
3 1
4 3
5 5
Задание 9 1 2
2 4
3 1
4 5
5
Задание 10 1 2
2 3 или 4
3 1
4 2
5 5
Задание 11 1 3
2 3
3 1
4 5
5 2
Задание 12 1 1
2 4
3 5
4 3
5 1
Задание 13 1 3
2 2
3 2
4 5
5 2
Задание 14 1 1
2 3
3 5
4 4
5 4
Задание 15 1 2
2 5
3 3
4 1
5 4
Задание 16 1 1
2 4
3 2
4 4
5 2
Задание 17 1 3
2 1
3 5
4 2
5 1
Задание 18 1 5
2 2
3 4
4 1
5 3
Задание 19 1 1
2 2
3 2
4 4
5 4
Задание 20 1 5
2 1
3 2
4 3
5 5
Задание 21 1 5
2 2
3 4
4 2
5 3
Задание 22 1 3
2 3
3 2
4 4
5 5
Задание 23 1 3
2 1
3 5
4 2
5 3
Задание 24 1 1
2 5
3 2
4 3
5 4
Задание 25 1 4
2 2
3 5
4 1
5 2
Задание 26 1 1
2 3
3 5
4 2
5 4
Задание 27 1 4
2 5
3 1
4 5
5 3
Задание 28 1 4
2 4
3 3
4 1
5 2
Задание 29 1 5
2 3
3 1
4 4
5 2
Задание 30 1 3
2 5
3 3
4 1
5 2
Задание 31 1 4
2 5
3 3
4 1
5 2
Задание 32 1 3
2 1
3 4
4 5
5 2
Задание 33 1 2
2 4
3 1
4 3
5 5
Задание 34 1 2
2 1
3 3
4 5
5 4