Найти объединение и пересечение двух множеств математика

Контрольная работа
Вариант №1.
Задание №1.. Найти объединение и пересечение двух множеств.
; .
Решение.
Объединением двух множеств А и В называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.
.
.
Пересечением двух множеств А и В называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В. .

Задание №2. Найти область определения функции.

Решение.
,
,
,

Область определения функции:

Задание №3. Найти пределы:
а) . Решение. = = =
= = = .
б) . Решение. = = =
= = = .

Задание №4. Найти производную функций.
а) .
Решение.
= = =
= = =
б) .
Решение.
= = .

Задание №5. Вычислить
, при .
Решение.
= = .
= = =1.

Задание №6. Найти критические точки функций
.
Решение.
=
Решим уравнение: =0, , ,
,
Критические точки: ,

Задание №7. Найти область определения функции.

Решение.
,
Область определения функции первая и четвертая четверть числовой плоскости.

Задание №8. Найти экстремумы функций.

Решение.
Найдем критические точки, решив систему уравнений: .
Найдем частные производные заданной функции.
= = ,
= = .
Решим систему:
Получили критическую точку .
Проверим достаточное условие экстремума.
Найдем частные производные второго порядка:
= = 2; = =2;
= = –1.
Для точки составим дискриминант = >0.
Так как и , то точка – точка минимума.
.

Задание №9. Решить задачу:
Общие издержки заданы функцией , где и – соответственно количество товара А и В. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки на изготовление были минимальными.
Решение.
Построим область допустимых значений:

Найдем критические точки функции.
= ;
= .
Получим , .
Критическая точка, не принадлежит области допустимых значений.
Исследуем функцию на границе области допустимых значений.
а) при х = 0 имеем: .
Исследуем данную функцию ; Критическая точка . , .
б) при y = 0 имеем . Исследуем данную функцию ; Критическая точка .
, .
в) при имеем
= .
Исследуем данную функцию ; Критическая точка . . .
Выбираем из поученных значений наименьшее.
.
Ответ:

Задание №10. Вычислить неопределенные интегралы:

Решение
= = .

Задание №11. Вычислить определенные интегралы:
а) . Решение.
.
б) . Решение.

= = .

Задание №12. Исследовать на сходимость ряды:
а) . Решение.
Общий член ряда . Воспользуемся признаком Даламбера
, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходиться.
б) . Решение.
Общий член ряда . – не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Следовательно, ряд расходиться.

Задание №13. Найти общее (или частные) решения дифференциальных уравнений:
а) . Решение.
– дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, , . Проинтегрируем.
, , .
б) . Решение.
– однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Подстановка: , .
, , ,
. Проинтегрируем.
, , .
– общее решение.
в) . Решение.
Составим характеристическое уравнение.
, , , , – корни кратности 2.
Общее решение уравнения имеет вид:

Задание №14. Вычислить:
а) . Решение.
= =
б) . Решение.
= =

Задание №15. Вычислить определитель:
а) . Решение. =
б) . Решение. .

Задание №16. Найти обратную матрицу:
а) . Решение.
Найдем матрицу по формуле
= , где – определитель матрицы А, – алгебраическое дополнение к элементу.
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = = .
б) . Решение.
Найдем матрицу по формуле
= , где – определитель матрицы А, – алгебраическое дополнение к элементу.
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = .

Задание №17. Решить задачу:
а) Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение.
При решении задачи воспользуемся формулой классической вероятности
, – общее число событий; – благоприятствующие число событий.
=100 – общие число номеров, у которых неизвестно две последние цифры,
.
;
б) На основании данных тестирования 20 учащихся: 3, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 4, 4 построить вариационный ряд.
Решение.
Построим вариационный ряд. Подсчитаем количество каждой варианты в вариационном ряде.
Таблица 1. Вариационный ряд
Варианта 2 3 4 5
Частота 4 5 7 4
4+5+7+4=20.