Найти неопределенный интеграл вариант 20 математика

1.Найти неопределенный интеграл:
а)

б).
Интегрируем по частях:

2. Вычислить определенный интеграл:

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

4. Вычислить несобственный интеграл:

5. Исследовать сходимость несобственного интеграла:

Так как функция
является бесконечно малой порядка по сравнению с при , то по частному признаку сравнения интеграл сходится.

6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.

Сделаем замену

Подставляя v во второе уравнение получим:

Значит, искомый интеграл уравнения

7. Решить линейное дифференциальное уравнение.

Характеристическое уравнение однородного уравнения:

Имеет корни , , поэтому общее решение однородного уравнения:
Права часть уравнения имеет вид

Подставив найденные выражение в уравнение, получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части тождества, получим

Таким образом общее решение данного неоднородного уравнения

8. Исследовать сходимость ряда

По признаку Даламбера:

Значит данный ряд сходящийся.
9. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

Применим признак Даламбера

Таким образом интервал сходимости ряда

Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд
Вое условие признака Лейбница выполняется

С другой стороны , второе условие признака Лейбница выполняеся, значить знакопеременный ряд сходится и так как сходится ряд .то ряд сходится абсолютно
При , имеем ряд , который исследуем по интегральному признаку
.
Несобственный интеграл сходится, значит сходится и ряд.
Таким образом интервал сходимости ряда