Кривые второго порядка математика

Тема 4. Кривые второго порядка
Упражнения
1. Составить уравнение линии центров окружностей, заданных уравнениями
х2+у2-12х+14у+60=0 и х2+у2+8х+16у-1=0.
Приведем уравнения окружностей к стандартному виду:

Центр окружности

Центр окружности
Линию центров найдем по формуле

О1О2:

2. По данному уравнению кривой ху=18 вычислить площадь вписанного в нее прямоугольника, вершины которого являются точками пересечения кривой с прямыми х-у+3=0 и х-у-3=0.
Найдем точки пересечения кривой с прямыми решив совместно системы уравнений:

3. Вычислить длину хорды, образуемой пересечением прямой у=4х с параболой у=3+2х-х2.
Найдем точки пересечения прямой с параболой решив совместно систему уравнений:

По теореме Виета
Следовательно
Длину хорды найдем по формуле

4. Преобразовать уравнение у=(4х-3) / (3х+5) путем параллельного переноса осей, если за новое начало координат принята точка пересечения асимптот кривой. Построить график этого уравнения.

Синяя
Красная
Черная

5. Определить площадь треугольника, вписанного в параболу у=3+2х—х2, если вершина треугольника совпадает с вершиной параболы, а основание лежит на оси Ох.
6. Составить уравнение осей симметрии равносторонней гиперболы, заданной уравнением у=(2х+7) / (х-1).
7. Найти уравнения осей симметрии гиперболы, заданной уравнением
у=(2х-3) / (3х-5).
8. Составить уравнение параболы, проходящей через точки (—5; 0), (—3; —22) и
(1; 6).
Запишем уравнение параболы в виде
И подставим координаты данных точек. Получим систему уравнений

9. Представить на чертеже область, определяемую системой неравенств

а) х2+у2+8х—6у—11?0, б) х2+у2+8х— 6у—11?0,
3х+5у— 3?0, 3х+5у—3?0.
5х— у+23?0; 5х— у +23?0.

А)

Красная сплошная
Красная пунктирная

10. Представить геометрически область, определяемую системой неравенств

а) у?10+3х—х2, б) у?10+3х— х2,
х?0, х?0,
у?0; у?0.