Интерполирование функции математика

Контрольная работа № 2. Численные методы.

2.1. Интерполирование функции.
Для функции, заданной таблично:
1) составить интерполяционный многочлен Лагранжа;
2) вычислить приближенно (с 4 дес. зн.) значение функции в точке X*;
3) построить блок-схему алгоритма, написать программу.

X 2 3 4 5
Y -1 0 7 4

X*=2.75

Решение. Составим интерполяционный многочлен Лагранжа.

=

Ln(2.75)=-1.4375

Текст программы на языке Паскаль, считающей значение функции в точке x*=2.75.

Program Progr1;

Const X: Array[1..4]Of Real=(2.0, 3.0, 4.0, 5.0);
{Значения X}
Y: Array[1..4]Of Real=(-1.0, 0.0, 7.0, 4.0);
{Значения Y}
X1 = 2.75;
{Точка, в которой необходимо найти значение функции}

Var Lagr, LagrN: Real;
I,J: Integer;

Begin
{Вычисляем значение по имеющейся формуле.}
Lagr:=0;
For I:=1 To 4 Do
Begin
LagrN:=1;
For J:=1 To 4 Do
Begin
If I<>J Then LagrN:=LagrN*(X1-X[J])/(X[I]-X[J]);
End;
Lagr:=Lagr+Y[I]*LagrN;
End;
{Вывод результата}
Writeln(Lagr:10:4);
End.

Блок-схема алгоритма.

Начало

Вычисление Ln(x)

Вывод Ln(x)

Конец

2.2. Обработка экспериментальных данных.
1) Выбор зависимости.
2) Определение коэффициентов этой зависимости.

Вариант 4.

Xi 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Yi 0.105 0.221 0.395 0.620 0.905 1.215 1.598 2.032 2.432

Xар=(1.0+5.0)/2=3.0
Yср=(0.105+2.432)/2=2.537/2=1.269

Xгарм=(2*1*5)/(1+5)=10/6=1.667
Yгарм=(2*0.105*2.432)/(0.105+2.435)=0.51/2.537=0.201

Y1*=Y(3)=0.905
Y2*=Y(2.236)=0.395+(0.620-0.395)*0.236/0.5=0.501
Y3*=Y(1.667)=0.221+(0.395-0.221)*0.167/0.5=0.279

Теперь необходимо рассчитать погрешности для 7 классов исследуемых кривых.
1) Линейные y=ax+b;
2) Показательные y=abx;
3) Дробно-рациональные y=1/(ax+b);
4) Логарифмические y=aln(x)+b;
5) Степенные y=axb;
6) Гиперболические y=a+b/x;
7) Дробно-рациональные второго вида y=x/(ax+b)

Рассчитаем погрешности для каждого вида зависимости.

E1=|Y1*–yар|=|0.905–1.269|=0.374
E2=|Y1*–yгеом|=|0.905–0.505|=0.4
E3=|Y1*–yгарм|=|0.905–0.201|=0.704
E4=|Y2*–yгеом|=|0.501–0.505|=0.004
E5=|Y2*–yгарм|=|0.501–0.201|=0.3
E6=|Y3*–yгеом|=|0.279–0.505|=0.226
E7=|Y3*–yгарм|=|0.279–0.201|=0.078

Т.к. Погрешность E4 минимальна, то зависимость между x и y будет логарифмической, т.е. уравнение зависимости имеет вид: y=aln(x)+b.

Воспользуемся методом выравнивания и превратим зависимость в линейную. Для этого введем переменную k=ln(x), тогда зависимость примет вид: y=ak+b.

Найдем значение k в крайних точках промежутка.
k(1)=ln(1)=0
k(5)=ln(5)=1.6

Получаем систему уравнений для коэффициентов a и b.

0.105=a*0+b
2.432=a*1.6+b

Из первого уравнения b=0.105
Из второго уравнения a=(2.432-0.105)/1.6=2.327/1.6=1.454375

Следовательно, искомое уравнение зависимости имеет вид:
y=1.454375*ln(x)+0.105

2.3. Решить систему уравнений:

с точностью E=10-4 методом итераций.
Построить блок-схему алгоритма, написать программу.

124. P=5.9; Q=7.2; R=16.1
Блок-схема алгоритма.

Начало

Присвоение начальных данных

Расчет следующей итерации

Нет
Разница между текущими и прошлыми значениями переменных < 10-4
Да

Вывод значений переменных и количества итераций

Конец

Текст программы на языке Pascal:

Program Progr3;

Var X0, Y0, Z0, X1, Y1, Z1: Real;
N: Integer;

Begin
X1:=0; Y1:=0; Z1:=0; N:=0;
{Присвоение начальных данных}
repeat
X0:=X1; Y0:=Y1; Z0:=Z1;
X1:=(5.9-0.99*Y0-0.03*Z0)/7;
Y1:=(7.2-0.09*X0-0.15*Z0)/4;
Z1:=(16.1-0.04*X0-0.08*Y0)/6;
Inc(N);
Until (Abs(X0-X1)<1E-4) And (Abs(Y0-Y1)<1E-4) And (Abs(Z0-Z1)<1E-4);
{Вывод результатов}
Writeln('Количество итераций=', N);
Writeln('X=', X1:10:5);
Writeln('Y=', Y1:10:5);
Writeln('Z=', Z1:10:5);
End.