Доказать равенство множеств математика

А) Доказать равенство множеств
(А В) U С = (А U С) (В U С)
Решение.
Докажем равенство методом встречных включений.
(А В) U С , (А U С) (В U С)
1. Докажем:
Пусть некоторый элемент . . По определению объединения множеств получим: . По определению пересечения множеств . Отсюда получим: ? ? , т.е. . Значит, .
2. Докажем:
Пусть некоторый элемент . . По определению пересечения множеств получим: . По определению объединения множеств . Отсюда получим: ? ? , т.е. . Значит, .
3. что и требовалось доказать

Б) Построить таблицу значений или истинности для h:
т т
h = ? f > g, где f = [00111010] , g = [01001101]
Решение.

0 0 1 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1

h = [0111 1111]T

В) Вычислить по формулам комбинаторики
m n
R = P - C + A n = 1; m = 2
n n m

Решение.
По определению:
, ,
Вычислим
, - нарушено условие

Т.к. невозможно вычислить , то задача не имеет решения.

Г) Найти матрицы смежности и инциденций графа, построить дерево-остов графа Эйлеров цикл ( если существует) и Гамильтонов путь.

Решение.

Матрица смежности вершин
Вершины v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 1 1 1
v2 1 0 1 1 0
v3 1 1 0 1 1
v4 1 1 1 0 1
v5 1 0 1 1 0

Матрица инциденций
1 ставится, если ребро инцидентна вершине;
0 ставится, если ребро не инцидентна вершине.
Обозначим ребра: , , , , , , , ,

v1 1 1 0 0 0 0 1 1 0
v2 1 0 0 0 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 0 0 1 0 0 1
v4 0 0 0 1 1 0 1 0 1
v5 0 0 1 1 0 0 0 1 0

Гамильтонов путь: .

Построим дерево-остов графа.

Линейная алгебра и Математическое программирование
( МАРИНА тел. 8-916-524-35-02))

1. Заданы векторы а = (N, M, 2-N), b = (N-5, -M, N-6), где М=2, N=15
А) Вычислить скалярное и векторное произведения двух векторов а и b.
В) Вычислить векторы с = 2а-b и d= -а+3b, проверить их ортогональность и коллинеарность.
Решение.
А) Скалярное произведение между двух векторов , находится по формуле:

Координаты векторов , .
,
.
Тогда =29.
Вычислим векторное произведение векторов:

Б) Вычислить векторы с = 2а-b и d= -а+3b.

Вычислим скалярное произведение векторов
= –1148 , следовательно, векторы не ортогональны.
Найдем отношения соответствующих координат:
– векторы не коллинеарные.

2. Задана система из трех уравнений:
х + 2 х - (1+1) х = 15
1 2 3

- х - х + (1+0) х = 15 + 2
1 2 3

х + 2 х + (1+1) х = 15 - 2
1 2 3
А) Решить систему по правилу Крамера.
Б) Записать систему в матричном виде и решить с помощью обратной матрицы.
Решение.
Найдем решение системы с помощью формул Крамера. Воспользуемся формулами:
, ,
где – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.
= ;
;
;
.
Найдем , , .
Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме ,
где , , .
Решение системы в матричной форме имеет вид , где – матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
= , где = 4 , – алгебраическое дополнение к элементу.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = .
Найдем решение системы.
= = = .
Ответ: (–49, 31,5, –0,5).

3.Решить геометрически задачу линейного программирования:

2х + ( 0+ 1 )у>MAX

х + 2 у ? 9+ 0
2х + у ? 15 – 3
- х + у ? 1+ 2
х, у ? 0

Решение.
Найти при ограничениях
Решим задачу графически.
Построим многоугольник решений. Построим прямые:
; ; .
Определим полуплоскости, в которых выполняется неравенство.

Областью допустимых решений является пятиугольник .
Далее строим вектор наискорейшего возрастания целевой функции – вектор градиентного направления.
Перпендикулярно этому вектору проводим линию уровня . Параллельным перемещением прямой , приходим к выводу, что функции достигает максимума на отрезке . Найдем координаты точки D.
; .
.
Ответ: 13

4. Решить транспортную задачу с двумя складами емкостью
а = 15+2, а = 40-15 и тремя пунктами назначения с
1 2
потребностями b = 5+2, b = 15, b = 35-15
1 2 3
Месяца сij
b1 b 2 b3
а1 20+ 9 х 0 10-1 2-10
а2 2-20 15 15+10
С = сij - матрица стоимостей перевозок ед. продукции из склада емкостью аi в пункт назначения с потребностью b j.
(При решении применять правило северо-западного угла)
Решение.
Проверим условие закрытости модели: 17+25 = 42; 7+15+20 = 42.
Условие закрытости модели выполняется.
Опорный план найдем методом северо-западного угла.
Пункты отправления Пункты назначения Запас груза

20 9 -8 17
7 10

-18 15 25 25
5 20
Потребность в грузе
7 15 20
Таким образом опорный план имеет вид:

805 ден. ед.
Ответ: 805 ден.ед.