Дифференцируем левую и правую части равенства математика

Задание 1. Найти пределы функций.
А)

б)

в)

Г)

д)

Е)

Задание 2. Найти производные от данной функции
а)

б)

в)

Г)
Прологарифмируем левую и правую части равенства

Дифференцируем левую и правую части равенства:

Задание 3. Исследовать функцию и построить ее график.
a)
1. Областью определения данной функции, как и любого многочлена, есть вся числовая ось
2. Функция не имеет точек разрыва.
3. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
4. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так, как функция определена на всей числовой оси.
б)
не вертикальных асимптот график функции не имеет.
5.

в точках , которые являются критическими
Исследуем данные точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ?)
y
max
min

+ - +
6. Найдем

=0 при х=0, эта точка может быть точкой перегиба
Исследуем эту точку по знаку слева и справа от нее
x (-?,0) 0 (0, ?)
y

- Точка. п +
7. Используя полученные результаты, строим график функции.

б)
8. Областью определения данной функции, есть вся числовая ось
9. Функция не имеет точек разрыва.
10. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
11. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так, как функция определена на всей числовой оси.
б)

не вертикальная асимптота
12.

в точках , которые являются критическими
Исследуем данные точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-2) -2 (-2,1) 1 (1, ?)
y
min
max

- + -
13. Найдем

=0 при , эта точка может быть точкой перегиба
Исследуем эту точку по знаку слева и справа от нее
x (-?,-1) -1 (-1, 4) 4 (4, ?)
y

+ Точка. п - Точка. п +
14. Используя полученные результаты, строим график функции.

Задание 4. Вычислить неопределенный интеграл.
A)

Б)

Интегрируем по частях:

В)

Г)

Запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные дроби

Умножим левую и правую части тождества на

Составим систему уравнений, приравняв коэффициенты в левой и правой части тождества.

Подставляя найденные дроби под знак интеграла, получим

Задание 5. Вычислить площадь трапеции, образованной линиями:

Задание 6. Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Интегрируем левую и правую части уравнения.

Задание 7. Найдите общее и частное решение дифференциального уравнения.

Сделаем замену

Подставляя v во второе уравнение получим

следовательно, искомый интеграл

Подставляя начальные условия получим

Таким образом, решение задачи Коши

Задание 8. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения .

Находим общий интеграл однородного уравнения :
Характеристическое уравнение:

Имеет корни , поэтому
Для правой части уравнения

Находим производные:

Подставляя в данное уравнение, получим равенство

Следовательно,

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальные условия

Следовательно, решение задачи Коши

9. Исследовать ряд на сходимость

Применим признак Даламбера

Значит, ряд расходится

10. Найти область сходимости ряда
а)
Применим признак Даламбера

Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд
Первое условие признака Лейбница выполняется

Второе условие признака Лейбница выполняется , ряд составленный из абсолютных величин сходится, значит знакопеременный ряд сходится фбсолютно.
При , имеем ряд , который является сходящимся.
Таким образом, интервал сходимости ряда: