составить интерполяционный многочлен Лагранжа информатика

2.1. Интерполирование функции.
Для функции, заданной таблично:
1) составить интерполяционный многочлен Лагранжа;
2) вычислить приближенно (с 4 дес. зн.) значение функции в точке X*;
3) построить блок-схему алгоритма, написать программу.

X -2 -1 0 1
Y 4 1 -2 -3

X*=–0,025.

Решение. Составим интерполяционный многочлен Лагранжа.

=

Вычислим значение многочлена Лагранжа средствами MathCAD.

Блок-схема алгоритма.

Начало

Вычисление Ln(x)

Вывод Ln(x)

Конец

Текст программы

Итак, значение многочлена Лагранжа в заданной точке
.

2.2. Обработка экспериментальных данных.
1) Выбор зависимости.
2) Определение коэффициентов этой зависимости.

Вариант 4.

Xi 24,5 30,0 64,5 74,5 88,7 94,5 98,9
Yi 0 4 18 29 51 73 90

Решение.
Средствами программы Excel найдем необходимые значения. Приведем фрагменты файла с графиком эмпирической зависимости и результатами вычислений.
X 24,5 30 64,5 74,5 88,7 94,5 98,9
Y 0 4 18 29 51 73 90

Хар= 61,7
Yар= 45

Хгеом= 49,22449
Yгеом= 0

Хгарм= 39,27147
Yгарм= 0

По графику экспериментальной зависимости приблизительно определяем, что

То же самое с указанием формул.
X 24,5 30 64,5 74,5 88,7 94,5 98,9
Y 0 4 18 29 51 73 90

Хар =(B1+H1)/2
Yар =(B2+H2)/2

Хгеом =КОРЕНЬ(B1*H1)
Yгеом =КОРЕНЬ(B2*H2)

Хгарм =(2*B1*H1)/(B1+H1)
Yгарм =(2*B2*H2)/(B2+H2)

Теперь необходимо рассчитать погрешности для 7 классов исследуемых кривых.
1) Линейные y=ax+b;
2) Показательные y=abx;
3) Дробно-рациональные y=1/(ax+b);
4) Логарифмические y=aln(x)+b;
5) Степенные y=axb;
6) Гиперболические y=a+b/x;
7) Дробно-рациональные второго вида y=x/(ax+b)

Рассчитаем погрешности для каждого вида зависимости средствами Excel (фрагмент файла:

Хар= 61,7
Yар= 45 Y1*= 20

Хгеом= 49,22449
Yгеом= 0 Y2*= 10

Хгарм= 39,27147
Yгарм= 0 Y3*= 5

E1= 25
E2= 20
E3= 15
E4= 35
E5= 10
E6= 40
E7= 5

То же самое, но с указанием формул:
Хар= =(B1+H1)/2
Yар= =(B2+H2)/2 Y1*= 20

Хгеом= =КОРЕНЬ(B1*H1)
Yгеом= =КОРЕНЬ(B2*H2) Y2*= 10

Хгарм= =(2*B1*H1)/(B1+H1)
Yгарм= =(2*B2*H2)/(B2+H2) Y3*= 5

E1= =ABS(C19-E19)
E2= =ABS(E19-C22)
E3= =ABS(E19-E25)
E4= =ABS(E22-C19)
E5= =ABS(E22-C22)
E6= =ABS(E25-C19)
E7= =ABS(E25-C25)

Т.к. погрешность E7 минимальна, то зависимость между Х и Y будет дробно-рациональной, т.е. уравнение зависимости имеет вид: y=x/(ax+b).
Воспользуемся методом выравнивания и превратим зависимость в линейную. Для этого введем переменную k=1/x, тогда зависимость примет вид: y(x)=kx/a+ k/b.
Найдем значение k в крайних точках промежутка:
k(24,5)=1/24,5=0,04.
k(98,9)=1/98,9=0,01.
Получаем систему уравнений для коэффициентов a и b.
0=0,04•24,5/a+0,04b
90=98,9•0,01/a+0,01b
Из этой системы уравнений получим, что
a=0,008
b=-2931.
Проведем эти же вычисления средствами Excel и приведем фрагменты файлов с числами и формулами
kнач= 0,040816
kкон= 0,010111
b= –2931,11
a= 0,00836
То же самое с указанием формул:
kнач= =1/B1
kкон= =1/H1
b= =H2/(C36-C35)
a= =1/(C35*C38)

Следовательно, искомое уравнение зависимости имеет вид:

2.3. Решить систему уравнений:

с точностью E=10-4 методом итераций.
Построить блок-схему алгоритма, написать программу.
120. P=5.1; Q=7.1; R=16.9
Блок-схема алгоритма.

Начало

Присвоение начальных данных

Расчет следующей итерации
Нет

Разница между текущими и прошлыми значениями переменных < 10-4
Да
Вывод значений переменных и количества итераций

Конец

Текст программы на MathCAD с результатами вычислений:

Таким образом, решениями данной системы уравнений является набор чисел
(0,00051; 0,00071;0,0169)